Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為，若函數(shù)g（x）=，在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求 m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間）；
（II）對函數(shù)進行求導，令導函數(shù)等于0在區(qū)間（1，3）上有解，然后建立關系式，解之即可．
解答：解：（Ⅰ） （2分）
當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，]，減區(qū)間為[，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[，+∞），減區(qū)間為（0，]；
（II）
∴a=-1
∴f（x）=-lnx+2x+3
g（x）=
=+（m+2）x²-x
g'（x）=x²+2（m+2）x-1
函數(shù)g（x）=，在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，
∴g'（x）=x²+2（m+2）x-1=0在（1，3）上有解
則解得-＜m＜-2
∴m的取值范圍為（-，-2）．
點評：本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在區(qū)間（a，b）上存在極值，則在區(qū)間（a，b）上不單調(diào)，屬于中檔題．