Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C₂是圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，已知曲線(xiàn)C₁上的點(diǎn)M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$，射線(xiàn)θ=$\frac{π}{3}$與曲線(xiàn)C₂交于點(diǎn)D（1，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲線(xiàn)C₁的普通方程和曲線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，θ），（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），且兩點(diǎn)均在曲線(xiàn)C₁上，求$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$代入曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），化簡(jiǎn)解出即可得出．設(shè)圓C₂的半徑為R，由題意可得：圓C₂的方程為：ρ=2Rcosθ，把點(diǎn)D（1，$\frac{π}{3}$）代入解得R．可得圓C₂的j極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²，代入配方化簡(jiǎn)即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）把兩點(diǎn)（ρ₁，θ），（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入曲線(xiàn)C₁，化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 解：（1）把點(diǎn)M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$代入曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=acos\frac{π}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴曲線(xiàn)C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．設(shè)圓C₂的半徑為R，由題意可得：圓C₂的方程為：ρ=2Rcosθ，
把點(diǎn)D（1，$\frac{π}{3}$）代入可得：1=2R$cos\frac{π}{3}$，解得R=1．
∴圓C₂的j極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
（2）∵兩點(diǎn)（ρ₁，θ），（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）均在曲線(xiàn)C₁上，
∴$\frac{（{ρ}_{1}cosθ）^{2}}{4}$+$（{ρ}_{1}sinθ）^{2}$=1，$\frac{（{ρ}_{2}sinθ）^{2}}{4}$+$（{ρ}_{2}cosθ）^{2}$=1，
∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+si{n}^{2}θ$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}+co{s}^{2}θ$=$\frac{5}{4}$．．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、橢圓方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．