【題目】已知等比數(shù)列的首項，數(shù)列前項和記為，前項積記為.

(1) 若，求等比數(shù)列的公比；

(2) 在(1)的條件下，判斷與的大小；并求為何值時，取得最大值；

(3) 在(1)的條件下，證明：若數(shù)列中的任意相鄰三項按從小到大排列，則總可以使其成等差數(shù)列；若所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次記為，則數(shù)列為等比數(shù)列.

【答案】（1）；（2），當時,最大；（3）證明見解析.

【解析】

（1），求和通項公式；

（2）根據(jù)定義可知，然后根據(jù)公式求，即時的最大值，再根據(jù)，判斷的最大值；

（3）由（1）可知當為奇數(shù)時，中的任意相鄰三項由小到大排列是，若成等差數(shù)列，可求是否成立，并求公差，當是偶數(shù)時,設(shè)中的任意相鄰三項按從小到大排列為，判斷是否成等差數(shù)列，并求公差，并按定義判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列

(1) ，解得，；

(2).又,

當時,；當時,.當時,取得最大值,

又,∴的最大值是和中的較大者,

又，.因此當時,最大.

(3),隨增大而減小,奇數(shù)項均正,偶數(shù)項均負,

①當是奇數(shù)時,設(shè)中的任意相鄰三項按從小到大排列為,

則,,

,因此成等差數(shù)列,

公差；

②當是偶數(shù)時,設(shè)中的任意相鄰三項按從小到大排列為,

則,.

∴,因此成等差數(shù)列,

公差,

綜上可知,中的任意相鄰三項按從小到大排列,總可以使其成等差數(shù)列,

且, ∵,∴數(shù)列為等比數(shù)列.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設(shè)田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽，田忌獲勝的概率如下表所示:

比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.

（1）如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

（2）如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學期望.

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【題目】已知拋物線焦點為，為拋物線上在第一象限內(nèi)一點，為原點，面積為.

（1）求拋物線方程；

（2）過點作兩條直線分別交拋物線于異于點的兩點，，且兩直線斜率之和為，

（i）若為常數(shù)，求證直線過定點；

（ii）當改變時，求（i）中距離最近的點的坐標.

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【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB= ,SA=3,SB=5,,,.

(1)求證:AB平面SAD；

(2)求平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值；

(3)點E,F分別為線段BC,SB上的一點,若平面AEF//平面SCD,求三棱錐B-AEF的體積.

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【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從四所高校中選2所.

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率；

（Ⅱ）若已知甲同學特別喜歡高校，他必選校，另在三校中再隨機選1所；而同學乙和丙對四所高校沒有偏愛，因此他們每人在四所高校中隨機選2所.

（ⅰ）求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率；

（ⅱ）記為甲、乙、丙三名同學中選校的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

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【題目】已知矩形，，，將沿對角線進行翻折，得到三棱錐，則在翻折的過程中，有下列結(jié)論正確的有_____.

①三棱錐的體積的最大值為；

②三棱錐的外接球體積不變；

③三棱錐的體積最大值時，二面角的大小是60°；

④異面直線與所成角的最大值為90°.

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【題目】在直角坐標系中，已知圓與直線相切，點A為圓上一動點，軸于點N，且動點滿足，設(shè)動點M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)P，Q是曲線C上兩動點，線段的中點為T，，的斜率分別為，且，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）若正實數(shù)滿足，證明：.

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【題目】如圖，在三棱錐中，底面，．點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．

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