Question

12．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的坐標系中，直線$l：\;\sqrt{2}ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）+4=0$．
（1）已知直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），判斷點A與直線l的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點B為曲線C上的一個動點，求點B到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)化求出l的直角坐標方程，代入A的坐標檢驗即可；
（2）設(shè)出B是坐標，表示出B點到直線l的距離，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出d的最大值即可．

解答 解：（1）$l：\;\sqrt{2}ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）+4=\sqrt{2}ρ（{cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}}）+4=ρcosθ-ρsinθ+4=0$，
所以直線l在直角坐標系中的方程為x-y+4=0，
經(jīng)驗證，點A（0，4）在直線l上．
（2）B點在曲線C上，設(shè)B點坐標為$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，
則B點到直線l的距離為$d=\frac{{\left|{\sqrt{3}cosα-sinα+4}\right|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\left|{2cos（{α+\frac{π}{6}}）+4}\right|}}{{\sqrt{2}}}$，
當$cos（{α+\frac{π}{6}}）=1$時，${d_{max}}=\frac{6}{{\sqrt{2}}}=3\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)化，考查點到直線的距離，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．