Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．從極點(diǎn)作圓C的弦，記各條弦中點(diǎn)的軌跡為曲線C₁．
（1）求C₁的極坐標(biāo)方程；
（2）已知曲線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（0≤α＜π，t為參數(shù)，且t≠0），l與C交于點(diǎn)A，l與C₁交于點(diǎn)B，且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）由圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．從極點(diǎn)作圓C的弦，設(shè)各條弦中點(diǎn)M（ρ，θ）．則（2ρ，θ）在圓C上，代入即可C₁的極坐標(biāo)方程．
（2）曲線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（0≤α＜π，t為參數(shù)，且t≠0），化為y=xtanα．由題意可得：|OA|=ρ₁=4sinα，|OB|=ρ₂=2sinα，利用|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
從極點(diǎn)作圓C的弦，設(shè)各條弦中點(diǎn)M（ρ，θ）．
則（2ρ，θ）在圓C上，
∴C₁的極坐標(biāo)方程為2ρ=4sinθ，
可得ρ=2sinθ．
（2）曲線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（0≤α＜π，t為參數(shù)，且t≠0），化為y=xtanα．
由題意可得：|OA|=ρ₁=4sinα，|OB|=ρ₂=2sinα，
∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，
∴|OA|-|OB|=2sinα=$\sqrt{3}$，即sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又0≤α＜π，
∴$α=\frac{π}{3}$，或α=$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、兩點(diǎn)之間的距離、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．