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20.已知2cosθ+sinθ=0,且θ∈(0,π).
(Ⅰ)分別求tanθ,sinθ,cosθ的值;
(Ⅱ)若sin(θ-φ)=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,$\frac{π}{2}$<φ<π,求cosφ的值.

分析 (Ⅰ)根據2cosθ+sinθ=0,可得tanθ=-2,θ∈(0,π).進一步縮小θ的范圍,利用sin2θ+cos2θ=1,求出sinθ,cosθ的值;
(Ⅱ)構造思想,由cosφ=cos[θ-(θ-φ)],利用和與差的公式即可求出.

解答 解(Ⅰ)∵2cosθ+sinθ=0,
∴tanθ=-2,
∵θ∈(0,π),又tanθ=-2.
可知θ∈($\frac{π}{2}$,π),
∴sinθ>0,cosθ<0.
將2cosθ+sinθ=0代入sin2θ+cos2θ=1.
解得:$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5},cosθ=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$.
(Ⅱ)∵$\frac{π}{2}<φ<π,\frac{π}{2}<θ<π⇒-\frac{π}{2}<θ-φ<\frac{π}{2}$
∴$cos(θ-φ)=\sqrt{1-{{sin}^2}(θ-φ)}=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
∴cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$.
故cosφ的值為$-\frac{\sqrt{2}}{10}$.

點評 本題考查了構造思想,同角三角函數的關系式的運用和計算能力,和與差的計算.屬于基礎題.

練習冊系列答案
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