Question

20．曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.（α$為參數(shù)），M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，且M是線段OP的中點(diǎn)，P點(diǎn)的軌跡為曲線C₂，直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（{x+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，直線l與曲線C₂交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C₂的普通方程；
（2）求線段 AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則由條件知$M（{\frac{x}{2}，\frac{y}{2}}）$，由M點(diǎn)在曲線C₁上，可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=2cosα\\ \frac{y}{2}=2+2sinα\end{array}\right.$，利用平方關(guān)系化為普通方程即為曲線C₂的普通方程．
（2）直線l的方程為$ρsin（{x+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離公式，利用弦長(zhǎng)公式可得：|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-akbm19g^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則由條件知$M（{\frac{x}{2}，\frac{y}{2}}）$，
∵M(jìn)點(diǎn)在曲線C₁上，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=2cosα\\ \frac{y}{2}=2+2sinα\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=4cosα\\ y=4+4sinα\end{array}\right.$，
化為普通方程為x²+（y-4）²=16，即為曲線C₂的普通方程．
（2）直線l的方程為$ρsin（{x+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，化為直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0．
由（1）知曲線C₂是圓心為（0，4），半徑為4的圓，
∵圓C₂的圓心到直線l的距離$d=\frac{{|{4-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，∴$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相交弦長(zhǎng)公式、坐標(biāo)變換，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．