Question

橢圓

x2

a2

+

y2

2

=1與雙曲線

x2

3

-y2=1有公共的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則cos∠F₁PF₂=（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  1

  4

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線

x2

3

-y2=1得焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），解得a²=6，由橢圓與雙曲線的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2

6

，|PF₁|-|PF₂|=±2

3

，由此得到2（|PF₁|²+|PF₂|²）=36，4|PF₁|•|PF₂|=12，再由余弦定理，能求出cos∠F₁PF₂．

解答： 解：由雙曲線

x2

3

-y2=1得焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴a²-2=4，解得a²=6，
由橢圓與雙曲線的定義，得：|PF₁|+|PF₂|=2

6

，|PF₁|-|PF₂|=±2

3

，
兩式分別平方后，相加得 2（|PF₁|²+|PF₂|²）=36，
兩式分別平方后相減，得 4|PF₁|•|PF₂|=12，
因此，由余弦定理，得
cos∠F₁PF₂=（|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²）÷（2|PF₁|•|PF₂|）
=（18-16）÷6=

1

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意審題，注意橢圓、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用，注意余弦定理的合理運(yùn)用．