Question

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的一個頂點為M（0，1），離心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=3．求證：直線AB過定點，并求該定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）依題意，得b=1，且

c

a

=

6

3

，c²=a²-b²，解出a，b即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）顯然直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+t，聯(lián)立橢圓方程消去y，得到x的方程，運用韋達定理，結(jié)合斜率公式，化簡整理，由恒成立的思想，即可得到定點．

解答： （Ⅰ）解：依題意，得b=1，且

c

a

=

6

3

，c²=a²-b²，
解得a=

3

，b=1
則橢圓方程為

x2

3

+y²=1．
（Ⅱ）證明：顯然直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+t，
代入橢圓方程，得（3k²+1）x²+6ktx+3（t²-1）=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-6kt

3k2+1

，x₁•x₂=

3(t2-1)

3k2+1

，
由k₁+k₂=3，得

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=3，①
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，②
由①，②得2k+（t-1）•

2kt

1-t2

=3，
化簡，得t=

2k-3

3

．
則直線AB的方程為y=kx+

2k-3

3

=k（x+

2

3

）-1，
∴直線AB過定點（-

2

3

，-1）．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，結(jié)合斜率公式，化簡整理，由恒成立的思想，即可得到定點，本題屬于中檔題．