Question

如圖所示：用籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，假設(shè)墻有足夠長．
（Ⅰ） 若籬笆的總長為30m，則這個矩形的長，寬各為多少時，菜園的面積最大？
（Ⅱ） 若菜園的面積為32m²，則這個矩形的長，寬各為多少時，籬笆的總長最短？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)籬笆的總長為30米，可得x+2y=30，利用基本不等式，即可求面積的最值；
（Ⅱ）由條件知S=xy=32，l=x+2y，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)這個矩形的長為xm，寬為ym，籬笆的長為lm，面積為Sm²．
（Ⅰ） 由題知x+2y=30，由于x+2y≥2

x•2y

=2

2xy

，
∴，⇒xy≤

225

2

，即S≤

225

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立．
由

x+2y=30 x=2y

⇒

x=15 y=7.5

故這個矩形的長為15m，寬為7.5m時，菜園的面積最大．
（Ⅱ） 條件知S=xy=32，l=x+2y．∵x+2y≥2

2xy

=16，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立．
由

x=2y xy=32

⇒

x=8 y=4

故這個矩形的長為8m、寬為4m時，可使籬笆的總長最短．

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力．