Question

設等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知對于任意的n∈N^*，點（S_n，n）都在函數(shù)y=log_b（x-r）（b＞0，且b≠1，b，r均為常數(shù)）的圖象上．
（1）求r的值；
（2）當b=2時，記b_n=

n+1

8an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n；
（3）若對一切的正整數(shù)n，總有T_n＞m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）把點（S_n，n）代入函數(shù)y=log_b（x-r）得到函數(shù)遞推式，求得首項a₁，再求出當n≥時的通項公式，由首項適合通項公式求得r的值；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=

n+1

8an

，利用錯位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n；
（3）由錯差法判斷數(shù)列{T_n}為遞增數(shù)列，求出其最小值，由T_n＞m求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知可得，n=log_b（S_n-r），
∴Sn-r=bn，即Sn=bn+r．
∴a₁=b+r．
當n≥2，an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1)．
∵{a_n}是等比數(shù)列，
∴b+r=b^1-1•（b-1），即r=-1；
（2）由（1）可知，
an=(b-1)•bn-1，
又b=2，
∴b_n=

n+1

8an

=

n+1

8•2n-1

．
∴Tn=

1

8

(

2

1

+

3

2

+

4

22

+…+

n

2n-2

+

n+1

2n-1

)．
∴

1

2

Tn=

1

8

(

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

)．
作差得：

1

2

Tn=

1

8

(2+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

)．
∴Tn=

1

4

[2+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n

]=

1

4

(2+1-

1

2n-1

-

n+1

2n

)；
（3）∵Tn+1-Tn=

3

4

-

n+4

2n+3

-

3

4

+

n+3

2n+2

=

n+2

2n+3

＞0，
∴T_n+1＞T_n，
∴數(shù)列{T_n}為增函數(shù)，
∴當n=1時，T_n取得最小值

1

4

．
∴對一切的正整數(shù)n，總有T_n＞m成立的實數(shù)m的取值范圍是m＜

1

4

．

點評：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，考查了利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值，是壓軸題．