Question

19．將四個不同顏色的乒乓球隨機放入編號分別為1，2，3，4的四個盒子中（每個盒子足夠大）．
（1）求編號為1的盒子為空盒的概率；
（2）求空盒的個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）將四個不同顏色的乒乓球隨機放入編號分別為1，2，3，4的四個盒子中，由分步剩法計數(shù)原理知共有4⁴種放法，設(shè)事件A表示“編號為1的盒子為空盒”，則四個乒乓球可以隨機放入編號為2，3，4的三個盒子中，共有3⁴種放法，由此能求出編號為1的盒子為空盒的概率．
（2）空盒的個數(shù)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出空盒的個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望E（ξ）．

解答 解：（1）將四個不同顏色的乒乓球隨機放入編號分別為1，2，3，4的四個盒子中，
由分步剩法計數(shù)原理知共有4⁴=256種放法，
設(shè)事件A表示“編號為1的盒子為空盒”，
則四個乒乓球可以隨機放入編號為2，3，4的三個盒子中，共有3⁴=81種放法，
故編號為1的盒子為空盒的概率為$P（A）=\frac{81}{256}$．
（2）空盒的個數(shù)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
則$P（{ξ=0}）=\frac{A_4^4}{256}=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}$，
$P（{ξ=1}）=\frac{C_4^2C_4^3A_3^3}{256}=\frac{144}{256}=\frac{9}{16}$，
$P（{ξ=3}）=\frac{C_4^1}{256}=\frac{4}{256}=\frac{1}{64}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{{C_4^1C_4^2A_2^2+\frac{C_4^2C_2^2}{A_2^2}C_4^2A_2^2}}{256}=\frac{84}{256}=\frac{21}{64}$
（或$P（{ξ=2}）=1-P（{ξ=0}）-P（{ξ=1}）-P（{ξ=3}）=\frac{21}{64}$），
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{3}{32}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{21}{64}$	$\frac{1}{64}$

ξ的數(shù)學期望為$E（ξ）=0×\frac{3}{32}+1×\frac{9}{16}+2×\frac{21}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．