Question

11．已知命題p：指數函數y=a^x（a＞0且a≠1）單調遞增；命題q：?x∈R，x²-（3a-4）x+1=0．若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，可知命題p、q恰好一真一假，進而得到答案．

解答 （本小題滿分12分）
解：命題p為真命題，則a＞1．…（2分）
命題q為真命題則（3a-4）²-4≥0，解得$a≤\frac{2}{3}$或a≥2．…（4分）
由命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，可知命題p、q恰好一真一假．…（5分）
故$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ \frac{2}{3}＜a＜2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ a≤\frac{2}{3}，或a≥2\end{array}\right.$，
解得：a∈$（-∞，\frac{2}{3}]∪（1，2）$．…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查指數函數的圖象和性質，方程根的個數判斷，難度中檔．