Question

如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點．
（1）求證：平面BDE⊥平面ACE；
（2）已知CE=1，點M為線段BD上的一個動點，直線EM與平面ABCD所成角的最大值為

π

4

．
①求正方形ABCD的邊長；
②在線段EO上是否存在一點G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出

EG

EO

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）證明BD⊥AC，BD⊥EC，從而證明平面BDE⊥平面ACE．
（2）由EC是平面ABCD的垂線，當M為O點時，直線EM與平面ABCD所成角的最大，從而求正方形ABCD的邊長；當G為EO中點時，存在CG⊥平面BDE．

解答： 解：（1）證明：∵底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，
∵EC⊥底面ABCD
∴BD⊥EC
∴BD⊥平面ACE，
∴平面BDE⊥平面ACE．
（2）①點M為線段BD上的一個動點，
∵EC⊥底面ABCD
∴直線EM與平面ABCD所成角為∠EMC，tan∠EMC=

EC

CM

．
當CM最小時，直線EM與平面ABCD所成角的最大，
當BD⊥CM時，即M為O點時，直線EM與平面ABCD所成角的最大．
此時CO=1，正方形ABCD的邊長為

2

．
②存在，當G為EO中點時，即

EG

EO

=

1

2

時，CG⊥平面BDE．
∴BD⊥平面ACE
∴BD⊥CG，
又∵△ECO為等腰三角形
∴CG⊥EO，
∴CG⊥平面BDE．

點評：本題主要考查線面垂直、面面垂直、線面角等知識，屬于中檔題．