Question

1．如圖，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（II）求證：AC⊥平面BCE； 
（Ⅲ）求二面角F-BC-D平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）由AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，得AF∥平面BCE．                                                                                                                
（II）過C作CM⊥AB，垂足為M，由AC²+BC²=AB²，得AC⊥BC；再證BE⊥AC，即可得到AC⊥平面BCE．
（III∠FCA為二面角F-BC-D平面角的平面角，在Rt△AFC中，求得二面角F-BC-D平面角的余弦值

解答 解：（I）因為四邊形ABEF為矩形，所以AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，
    所以AF∥平面BCE．                                                                                                                
（II）過C作CM⊥AB，垂足為M，
因為AD⊥DC所以四邊形ADCM為矩形．所以AM=MB=2，又因為AD=2，AB=4所以AC=2$\sqrt{2}$，CM=2，BC=2$\sqrt{2}$
所以AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC；
因為AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC，
又因為BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B所以AC⊥平面BCE．
（III）∵FA⊥面ABCD，AC⊥BC，∴∠FCA為二面角F-BC-D平面角的平面角，在Rt△AFC中，cos∠ACF=$\frac{AF}{FC}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
二面角F-BC-D平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$

點評 本題考查了空間線面平行、線面垂直的判定，及幾何法求二面角，屬于基礎(chǔ)題．