Question

（本題滿分12分）已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率，過(guò)點(diǎn)和的直線與坐標(biāo)原點(diǎn)距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)，若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，試判斷是否存在值，使以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)？若存在求出這個(gè)值，若不存在說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意雙曲線的離心率為，直線的方程：利用點(diǎn)到直線的距離公式得到：聯(lián)立解得：進(jìn)而求得橢圓方程；（2）假設(shè)存在這樣的值，由直線方程和（1）求得的橢圓方程聯(lián)立，同時(shí)運(yùn)用韋達(dá)定理得到，，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，須有，即：.聯(lián)立，求得.

試題解析：（1）直線方程為：.

依題意 解得：

∴ 橢圓方程為 .

（2）假設(shè)存在這樣的值，由得：

∴ ①

設(shè)， ，，則 ②

而

要使以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，則，即

∴ ③

將②式代入③整理解得 經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立

綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.韋達(dá)定理.