Question

已知函數(shù)f（x）=3x²-2x，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)f（x）的圖象上
（1）求證：{a_n}為等差數(shù)列；
（2）設b_n=

3

an•an+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得S_n=3n²-2n，根據“n=1時，a₁=S₁；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”，可求數(shù)列的通項公式，再證明數(shù)列：{a_n}為等差數(shù)列；
（2）由（1）和條件求出b_n，利用裂項相消法求出T_n的表達式，再由n的范圍求出T_n的范圍，根據不等式恒成立求出滿足條件的最大正整數(shù)m的值．

解答： 證明：（1）由題意得，S_n=3n²-2n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
當n=1時，a₁=S₁=1，符合上式，
所以a_n=6n-5，
則數(shù)列{a_n}以6為公差、1為首項的等差數(shù)列；
解：（2）由（1）得，a_n=6n-5，
所以b_n=

3

an•an+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

（

1

6n-5

-

1

6n+1

），
則T_n=

1

2

[（1-

1

7

）+（

1

7

-

1

13

）+…+（

1

6n-5

-

1

6n+1

）]
=

1

2

（1-

1

6n+1

）
因為n∈N^*，所以

1

6n+1

＞0，即T_n=

1

2

（1-

1

6n+1

）＜

1

2

，
又T_n＜

m

20

對所有n∈N^*都成立，
所以

m

20

≥

1

2

，則m≥10，
所以滿足條件的最小正整數(shù)m為：10．

點評：本題考查了數(shù)列a_n與S_n的關系，等差數(shù)列的通項公式，以及恒成立問題轉化為求最值問題，注意等價轉化思想的合理運用，試題具有一定的綜合性．