Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ．

（1）求C1的極坐標(biāo)方程與C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知射線與C1交于O，P兩點，與C2交于O，Q兩點，且Q為OP的中點，求α．

Answer 1

【答案】（1），x2+（y﹣2）2＝4．

（2）α．

【解析】

（1）曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t即可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用可將C2的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（2）由題意可設(shè)，，利用極徑和三角函數(shù)關(guān)系式即可求出結(jié)果.

（1）曲線C1的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)t轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2＝4y，

轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為.

曲線C2的極坐標(biāo)方程為，即，

由將上式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2＝4y，整理得x2+（y﹣2）2＝4．

（2）由題意可設(shè)，

因為射線與C1交于O，P兩點，所以，

與C2交于O，Q兩點，所以，

又Q為OP的中點，所以，

即，化簡得，

因為，所以.