Question

設函數f（x）=a-

2

( 1 2 )x+b

是R上的奇函數，且f（-1）=

1

3

．
（1）確定函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意可得f（0）=0，與f（-1）=

1

3

，聯立解出a，b；代入驗證即可；
（2）由觀察法求函數的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）為R上的奇函數，
∴f（0）=0，
∴

f(0)=a- 2 1+b =0 f(-1)=a- 2 2+b = 1 3

聯立解得：

a=- 2 3 b=-4

或

a=1 b=1

，
經檢驗，只有

a=1 b=1

滿足題意．
∴f(x)=1-

2

( 1 2 )x+1

（2）∵f(x)=1-

2

( 1 2 )x+1

，且(

1

2

)x＞0，
∴(

1

2

)x+1＞1，
∴0＜

1

( 1 2 )x+1

＜1，
∴0＜

2

( 1 2 )x+1

＜2，
∴-2＜-

2

( 1 2 )x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

( 1 2 )x+1

＜1，
∴f(x)=1-

2

( 1 2 )x+1

的值域為（-1，1）．

點評：本題考查了函數奇偶性的應用及函數的值域的求法，屬于基礎題．