Question

13．已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足①f（4）=0；②曲線y=f（x+1）關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱；③當(dāng)x∈（-4，0）時(shí)，$f（x）={log_2}（\frac{x}{{{e^{|x|}}}}+{e^x}-m+1）$，若y=f（x）在x∈[-4，4]上有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-3e^-4，1）∪{-e^-2}．

Answer 1

分析 可判斷f（x）在R上是奇函數(shù)，從而可化為當(dāng)x∈（-4，0）時(shí)，$f（x）={log_2}（\frac{x}{{{e^{|x|}}}}+{e^x}-m+1）$，有1個(gè)零點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為xe^x+e^x-m=0在（-4，0）上有1個(gè)不同的解，再令g（x）=xe^x+e^x-m，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，從而解得．

解答 [-3e^-4，1）∪{-e^-2}
解：∵曲線y=f（x+1）關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱；
∴曲線y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱；∴f（x）在R上是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，又∵f（4）=0，∴f（-4）=0，
而y=f（x）在x∈[-4，4]上恰有5個(gè)零點(diǎn)，
故x∈（-4，0）時(shí)，$f（x）={log_2}（\frac{x}{{{e^{|x|}}}}+{e^x}-m+1）$有1個(gè)零點(diǎn)，
x∈（-4，0）時(shí)f（x）=log₂（xe^x+e^x-m+1），
故xe^x+e^x-m=0在（-4，0）上有1個(gè)不同的解，
令g（x）=xe^x+e^x-m，
g′（x）=e^x+xe^x+e^x=e^x（x+2），
故g（x）在（-4，-2）上是減函數(shù)，在（-2，0）上是增函數(shù)；
而g（-4）=-4e^-4+e^-4-m，g（0）=1-m=-m，g（-2）=-2e^-2+e^-2-m，
而g（-4）＜g（0），
故-2e^-2+e^-2-m-1＜0＜-4e^-4+e^-4-m-1，
故-3e^-4≤m＜1或m=-e^-2
故答案為：[-3e^-4，1）∪{-e^-2}

點(diǎn)評(píng) 題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用．屬于中檔題．