Question

7．在底面為正方形的四棱錐S-ABCD中，AD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：BE∥平面SDF；
（Ⅱ）若AB=5，求點(diǎn)E到平面SDF的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取SD的中點(diǎn)Q，連接QF、QE，證明BFQE為平行四邊形，可得BE∥QF，即可證明：BE∥平面SDF；
（Ⅱ）若AB=5，利用等體積方法求點(diǎn)E到平面SDF的距離．

解答 證明：（Ⅰ）取SD的中點(diǎn)Q，連接QF、QE，
由于點(diǎn)E為側(cè)棱AS的中點(diǎn)，Q為SD的中點(diǎn)
故在△DAS中，QE$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，
由于F是BC的中點(diǎn)
故BF$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，
故QE$\underline{\underline{∥}}BF$
故BFQE為平行四邊形
故BE∥QF，又QF?平面EFD₁，BE?平面EFD₁
故BE∥平面SDF；
解：（Ⅱ）由DS⊥面ABCD，
又AB?面ABCE，故DS⊥AB
又AB⊥AD，故AB⊥面ADS，又BC∥面ADS
故F到面ADS的距離為AB的長，即為5．
設(shè)點(diǎn)E到平面SDF的距離為h．
又V_F-SED=V_E-SDF故$\frac{5}{3}•{\frac{5}{4}^2}=\frac{1}{3}h•{\frac{{\sqrt{5}×5}}{4}^2}$
$h=\sqrt{5}$

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定，考查等體積方法求點(diǎn)到平面的距離，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．