Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)，M分別是PC，PB，CD的中點．
（1）證明：PB⊥AC；
（2）證明：平面PAD∥平面MEF．

Answer 1

分析 （1）證明：AC⊥平面PBD，即可證明PB⊥AC；
（2）證明EF∥平面PAD；EM∥平面PAD，利用平面與平面平行的判定定理，即可證明平面PAD∥平面MEF．

解答 證明：（1）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AC．…（1分）
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，…（2分）
又因為PD∩BD=D，…（3分）
∴AC⊥平面PBD，…（4分）
而PB?平面PBD，…（4分）
∴AC⊥PB．  …（6分）
（2）因為E，F(xiàn)為PC，PB中點，所以EF∥BC
所以EF∥AD，…（7分）
又因為AD?面PAD，EF?面PAD…8分
所以EF∥平面PAD；…（9分）
同理可證：EM∥平面PAD．…（10分）
又因為EF，EM?面EFM，EF∩EM=E…（11分）
所以面EFM∥面PAD．…（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及直線與平面平行、平面與平面平行的判定，同時考查了空間想象能力和論證推理的能力，屬于中檔題．