Question

5．已知偶函數(shù)f（x）滿足$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，若區(qū)間[-1，3]上，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由題意，偶函數(shù)f（x）滿足$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$求出函數(shù)f（x）的周期，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，那么根據(jù)周期求再區(qū)間[-1，3]上的各解析式．函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k是一個(gè)一次函數(shù)，有3個(gè)零點(diǎn)只能與每一個(gè)解析式都有一個(gè)交點(diǎn)．從而求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：由題意：$f（x+1）=-\frac{1}{f（x）}$，可得f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的函數(shù)；
當(dāng)x在[0，1]，f（x）=x，由于f（x）是偶函數(shù)，∴x在[-1，0]時(shí)，f（x）=-x；
f（x）是周期為2的函數(shù)，f（2）=f（0）=0，x在[1，2]時(shí)，函數(shù)解析式：y=-x+2
x在[2，3]時(shí)，函數(shù)解析式：y=x-2
函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k是一個(gè)一次函數(shù)，看成是f（x）與h（x）
h（x）=kx+k=k（x+1）圖象恒過（-1，0），

從圖象上可以看出：直線過h（x）=k（x+1）過坐標(biāo)（3，1）時(shí)，與f（x）有4個(gè)交點(diǎn)．此時(shí)斜率k=$\frac{1}{4}$．
直線過h（x）=k（x+1）過坐標(biāo)（1，1）時(shí)，與f（x）有2個(gè)交點(diǎn)．此時(shí)斜率k=$\frac{1}{2}$．
不難看出：k在$（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$時(shí)，f（x）與h（x）有3個(gè)交點(diǎn)，即g（x）=f（x）-kx-k有3個(gè)零點(diǎn)．
故答案為（$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的周期和分段函數(shù)的圖象，直線恒過點(diǎn)及斜率的問題．通過數(shù)形結(jié)合，作出圖象，可以看出斜率的范圍．綜合性強(qiáng)，屬于難題．