Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），曲線(xiàn)${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ+2\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，θ∈[0，2π]）．
（Ⅰ）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，求曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線(xiàn)C₁與曲線(xiàn)C₂相交于點(diǎn)A、B，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)后得到其普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）法一：利用弦長(zhǎng)公式直接求解，利用參數(shù)的幾何意義求解．法二、運(yùn)用直線(xiàn)的參數(shù)方程求解．

解答 解（Ⅰ）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ+2}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$消去參數(shù)后得到其普通方程為x²-4x+y²=0，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得ρ=4cosθ．
∴曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（Ⅱ）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2-2t}\end{array}}\right.$消去參數(shù)后得到其普通方程為x+y-3=0，
由曲線(xiàn)C₂可知：以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓．
那么：圓心到直線(xiàn)C₁的距離為$\frac{{|{1×2+1×0-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴弦長(zhǎng)$|{AB}|=2\sqrt{{2^2}-{{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^2}}=2×\frac{{\sqrt{14}}}{2}=\sqrt{14}$．
解法2：把${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2-2t}\end{array}}\right.$代入x²-4x+y²=0得8t²-12t+1=0，
則有：${t_1}+{t_2}=\frac{3}{2}$，${t_1}{t_2}=\frac{1}{8}$，
則${|{{t_1}-t}|_2}=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（{\frac{3}{2}}）}^2}-4×\frac{1}{8}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
根據(jù)直線(xiàn)方程的參數(shù)幾何意義知$|{AB}|=2\sqrt{2}{|{{t_1}-t}|_2}=\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)、參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)換，考查了參數(shù)方程的幾何意義．屬于中檔題．