Question

13．如圖，河的一側(cè)是以O(shè)為圓形，半徑為80$\sqrt{3}$米的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)有一建筑物AB垂直于水平面，假設(shè)扇形OCD與點(diǎn)B處于同一水平面，記OB與$\widehat{CD}$的交點(diǎn)為E，若在點(diǎn)C，點(diǎn)O和點(diǎn)E處看到點(diǎn)A的仰角分別為45°，30°和60°，則∠CBO的余弦值為$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 由題意，分別求出△CBO的三邊，利用余弦定理求角度．

解答 解：由題意，∠ABE=60°，∠ACB=45°，∠AOB=30°，所以∠EAB=30°，
所以AE=OE=80$\sqrt{3}$，并且建筑物AB垂直于水平面，
所以BE=40$\sqrt{3}$，所以O(shè)B=120$\sqrt{3}$，BC=AB=AE×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=120，
在△CBO中，cos∠CBO=$\frac{B{C}^{2}+O{B}^{2}-O{C}^{2}}{2BC×OB}$=$\frac{12{0}^{2}+（120\sqrt{3}）^{2}-（80\sqrt{3}）^{2}}{2×120×120\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$；
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用；關(guān)鍵是將問題抽象出數(shù)學(xué)模型，利用余弦定理解三角形．