Question

4．已知a∈R，函數(shù)f（x）=e^x-a（x+1）的圖象與x軸相切．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x＞0時(shí)，f（x）＞mx²，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）構(gòu)造g（x）=f（x）-mx²，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出m的具體范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-a，依題意，設(shè)切點(diǎn)為（b，0），（1分）
則$\left\{\begin{array}{l}{f（b）=0}\\{f′（b）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^-a（b+1）=0}\\{{e}^-a=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=1}\end{array}\right.$（3分）
所以f′（x）=e^x-1，
所以，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0．
所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-mx²，
則g′（x）=e^x-2mx-1，
令h（x）=g′（x），則h′（x）=e^x-2m，（7分）
（�。┤鬽≤$\frac{1}{2}$，
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又因?yàn)間′（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞g′（0）=0，
從而g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞mx²成立．（9分）
（ⅱ）若m＞$\frac{1}{2}$，
令h′（x）=0，解得x=ln（2m）＞0，
當(dāng)x∈（0，ln（2m）），h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（0，ln（2m））上單調(diào)遞減，
又因?yàn)間′（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，ln（2m））時(shí)，g′（x）＜0，
從而g（x）在（0，ln（2m））上單調(diào)遞減，
而g（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，ln（2m）），時(shí)，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＞mx²不成立．
綜上所述，m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等．