分析 (I)點(diǎn)Pn(an,bn)(n∈N*)都在直線l:y=2x+2上,∴bn=2an+2,∵P1為直線l與x軸的交點(diǎn),∴P1(-1,0),即a1=-1,b1=0.利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(II)f(n)={an,n為奇數(shù)bn,n為偶數(shù).假設(shè)存在k∈N*,使得f(k+5)=2f(k)-2成立.對(duì)k分類討論即可得出.
(III)P1(-1,0),Pn(n-2,2n-2),|P1Pn|2=(n-1)2+(2n-2)2=5(n-1)2.(1)n=2時(shí),|P1P2|2=5,則1|P1P2|2=15,即可證明.
(2)n≥3時(shí),1(n−1)2<1(n−2)(n−1)=1n−2−1n−1.利用“裂項(xiàng)求和”方法即可證明.
解答 (I)解:點(diǎn)Pn(an,bn)(n∈N*)都在直線l:y=2x+2上,∴bn=2an+2,
∵P1為直線l與x軸的交點(diǎn),∴P1(-1,0),即a1=-1,b1=0.
∵數(shù)列{an}成等差數(shù)列,公差為1.∴an=-1+(n-1)=n-2.
bn=2(n-2)+2=2n-2.
(II)解:f(n)={an,n為奇數(shù)bn,n為偶數(shù).
假設(shè)存在k∈N*,使得f(k+5)=2f(k)-2成立.
k為奇數(shù)時(shí),f(k)=k-2,f(k+5)=2(k+5)-2,
則2(k+5)-2=2(k-2)-2,化為:10=-4,不成立,舍去.
k為偶數(shù)時(shí),f(k)=2k-2,f(k+5)=k+5-2=k+3,
則k+3=2(2k-2)-2,化為:3k=9,解得k=3,不成立.
故不存在k∈N*,使得f(k+5)=2f(k)-2成立.
(III)證明:P1(-1,0),Pn(n-2,2n-2),
|P1Pn|2=(n-1)2+(2n-2)2=5(n-1)2.
(1)n=2時(shí),|P1P2|2=5,則1|P1P2|2=15<25.
(2)n≥3時(shí),1(n−1)2<1(n−2)(n−1)=1n−2−1n−1.
∴1|P1P2|2+1|P1P3|2+…+1|P1Pn|2<15[1+(1−12)+(12−13)+…+(1n−2−1n−1)]=15(2−1n−1)<25,
綜上可得:1|p1p2|2+1|p1p3|2+…+1|p1pn|2<25(n≥2,n∈N*).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì),考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 12 | B. | √63 | C. | √62 | D. | √33 |
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