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12.已知點(diǎn)Pn(an,bn)(n∈N*)都在直線l:y=2x+2上,P1為直線l與x軸的交點(diǎn),數(shù)列{an}成等差數(shù)列,公差為1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若fn={ann(shù)bnn(shù)問是否存在k∈N*,使得f(k+5)=2f(k)-2成立?若存在,求出k的值,若不存在,說明理由;
(Ⅲ)求證:1|p1p2|2+1|p1p3|2++1|p1pn|225(n≥2,n∈N*).

分析 (I)點(diǎn)Pn(an,bn)(n∈N*)都在直線l:y=2x+2上,∴bn=2an+2,∵P1為直線l與x軸的交點(diǎn),∴P1(-1,0),即a1=-1,b1=0.利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(II)fn={ann(shù)bnn(shù).假設(shè)存在k∈N*,使得f(k+5)=2f(k)-2成立.對(duì)k分類討論即可得出.
(III)P1(-1,0),Pn(n-2,2n-2),|P1Pn|2=(n-1)2+(2n-2)2=5(n-1)2.(1)n=2時(shí),|P1P2|2=5,則1|P1P2|2=15,即可證明.
(2)n≥3時(shí),1n121n2n1=1n21n1.利用“裂項(xiàng)求和”方法即可證明.

解答 (I)解:點(diǎn)Pn(an,bn)(n∈N*)都在直線l:y=2x+2上,∴bn=2an+2,
∵P1為直線l與x軸的交點(diǎn),∴P1(-1,0),即a1=-1,b1=0.
∵數(shù)列{an}成等差數(shù)列,公差為1.∴an=-1+(n-1)=n-2.
bn=2(n-2)+2=2n-2.
(II)解:fn={ann(shù)bnn(shù)
假設(shè)存在k∈N*,使得f(k+5)=2f(k)-2成立.
k為奇數(shù)時(shí),f(k)=k-2,f(k+5)=2(k+5)-2,
則2(k+5)-2=2(k-2)-2,化為:10=-4,不成立,舍去.
k為偶數(shù)時(shí),f(k)=2k-2,f(k+5)=k+5-2=k+3,
則k+3=2(2k-2)-2,化為:3k=9,解得k=3,不成立.
故不存在k∈N*,使得f(k+5)=2f(k)-2成立.
(III)證明:P1(-1,0),Pn(n-2,2n-2),
|P1Pn|2=(n-1)2+(2n-2)2=5(n-1)2
(1)n=2時(shí),|P1P2|2=5,則1|P1P2|2=1525
(2)n≥3時(shí),1n121n2n1=1n21n1
1|P1P2|2+1|P1P3|2+…+1|P1Pn|215[1+112+1213+…+1n21n1]=1521n125,
綜上可得:1|p1p2|2+1|p1p3|2++1|p1pn|225(n≥2,n∈N*).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì),考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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