Question

12．已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直線l：y=2x+2上，P₁為直線l與x軸的交點，數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列，公差為1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n為奇數(shù)\\{b_n}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$問是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求證：$\frac{1}{{|{p_1}{p_2}{|^2}}}+\frac{1}{{|{p_1}{p_3}{|^2}}}+…+\frac{1}{{|{p_1}{p_n}{|^2}}}＜\frac{2}{5}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （I）點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直線l：y=2x+2上，∴b_n=2a_n+2，∵P₁為直線l與x軸的交點，∴P₁（-1，0），即a₁=-1，b₁=0．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n為奇數(shù)\\{b_n}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$．假設(shè)存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立．對k分類討論即可得出．
（III）P₁（-1，0），P_n（n-2，2n-2），$|{P}_{1}{P}_{n}{|}^{2}$=（n-1）²+（2n-2）²=5（n-1）²．（1）n=2時，$|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}$=5，則$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，即可證明．
（2）n≥3時，$\frac{1}{（n-1）^{2}}$$＜\frac{1}{（n-2）（n-1）}$=$\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}$．利用“裂項求和”方法即可證明．

解答 （I）解：點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直線l：y=2x+2上，∴b_n=2a_n+2，
∵P₁為直線l與x軸的交點，∴P₁（-1，0），即a₁=-1，b₁=0．
∵數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列，公差為1．∴a_n=-1+（n-1）=n-2．
b_n=2（n-2）+2=2n-2．
（II）解：$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n為奇數(shù)\\{b_n}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$．
假設(shè)存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立．
k為奇數(shù)時，f（k）=k-2，f（k+5）=2（k+5）-2，
則2（k+5）-2=2（k-2）-2，化為：10=-4，不成立，舍去．
k為偶數(shù)時，f（k）=2k-2，f（k+5）=k+5-2=k+3，
則k+3=2（2k-2）-2，化為：3k=9，解得k=3，不成立．
故不存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-2成立．
（III）證明：P₁（-1，0），P_n（n-2，2n-2），
$|{P}_{1}{P}_{n}{|}^{2}$=（n-1）²+（2n-2）²=5（n-1）²．
（1）n=2時，$|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}$=5，則$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{1}{5}$$＜\frac{2}{5}$．
（2）n≥3時，$\frac{1}{（n-1）^{2}}$$＜\frac{1}{（n-2）（n-1）}$=$\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}$．
∴$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}{|}^{2}}$+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{3}{|}^{2}}$+…+$\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{n}{|}^{2}}$＜$\frac{1}{5}$$[1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）]$=$\frac{1}{5}（2-\frac{1}{n-1}）$$＜\frac{2}{5}$，
綜上可得：$\frac{1}{{|{p_1}{p_2}{|^2}}}+\frac{1}{{|{p_1}{p_3}{|^2}}}+…+\frac{1}{{|{p_1}{p_n}{|^2}}}＜\frac{2}{5}$（n≥2，n∈N^*）．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．