Question

2．已知（x²+1）（2x+1）⁹=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₁（x+1）¹¹，則a₁+a₂+a₁₁=781．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)x+1=t，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的多項(xiàng)式，根據(jù)系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：令x+1=t，則x=t-1，
則方程等價(jià)為[（t-1）²+1]（2t+1）⁹=a₀+a₁t+a₂t²+…+a₁₁t¹¹，
即（t²-2t+2）（2t+1）⁹=a₀+a₁t+a₂t²+…+a₁₁t¹¹，
則a₁₁為展開式中t¹¹的系數(shù)，則a₁₁=2⁹=512
a₁為一次項(xiàng)的系數(shù)，則a₁=-2×1+1×${C}_{9}^{1}$×2=18-2=16．
a₂為二次項(xiàng)的系數(shù)，則a₂=1×1-2×${C}_{9}^{1}$×2+2×${C}_{9}^{2}$×2²=1-36+288=253．
則a₁+a₂+a₁₁=16+253+512=781，
故答案為：781

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的多項(xiàng)式是解決本題的關(guān)鍵．