Question

10．橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，則此橢圓上的點到直線2x-3y+6=0距離的最小值為$\frac{6-\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$．

Answer 1

分析 由橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，設P（2cosθ，sinθ）．θ∈[0，2π）．利用點到直線的距離公式與三角函數的值域即可得出．

解答 解：由橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，設P（2cosθ，sinθ）．θ∈[0，2π）．
則此橢圓上的點P到直線2x-3y+6=0距離=$\frac{|2cosθ-3sinθ+6|}{\sqrt{13}}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ-φ）+6|}{\sqrt{13}}$≥$\frac{6-\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$，當且僅當sin（θ-φ）=-1時取等號．
故答案為：$\frac{6-\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、點到直線的距離公式、三角函數的值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．