Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=ax﹣1（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（2）+f（﹣2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解關于x的不等式f（x）＜4，結果用集合或區(qū)間表示．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（﹣2）=﹣f（2），即f（2）+f（﹣2）=0
（2）解：設x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=a﹣x﹣1．

由f（x）是奇函數(shù)，有f（﹣x）=﹣f（x），∵f（﹣x）=a﹣x﹣1，

∴f（x）=﹣a﹣x+1（x＜0），∴所求的解析式為

（3）解：不等式等價于 ，

即 ，即 ．

當a＞1時，有 ，∵loga5＞0，所以不等式的解集為（﹣∞，loga5）；

當0＜a＜1時，有 ，∵loga5＜0，所以不等式的解集為（﹣∞，0）．

綜上所述，當a＞1時，不等式的解集為（﹣∞，loga5）；

當0＜a＜1時，不等式的解集為（﹣∞，0）

【解析】（1）根據(jù)題意可得f（﹣2）=﹣f（2），即f（2）+f（﹣2）=0．（2）設x＜0，則﹣x＞0，根據(jù)f（﹣x）=a﹣x﹣1=﹣f（x），求得f（x）的解析式．（3）分類討論a的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式f（x）＜4的解集．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．