Question

已知函數f（x）=ax³+bx+c在x=2處取得極值為c-16
（1）求a、b的值；
（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）求導，根據f′（2）=0，f（2）=c-16，即可求得a，b值；
（2）由（1）求出f（x）的極大值，由極大值為28，可求出c值，然后求出f（-3），f（3），及函數在區(qū)間[-3，3]上的極值，其中最大者最大值．

解答：解：（1）因為f（x）=ax³+bx+c，故f′（x）=3ax²+b，
由于f（x）在點x=2處取得極值，故有

f′(2)=0 f(2)=c-16

，即

12a+b=0 8a+2b+c=c-16

，
化簡得

12a+b=0 4a+b=-8

，解得

a=1 b=-12

．
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12，
令f′（x）=0，得x=2或x=-2，
當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＞0，f（x）在∈（-∞，-2）上為增函數；當x∈（-2，2）時，f′（x）＜0，f（x）在（-2，2）上為減函數；
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上為增函數．
由此可知f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=16+c，f（x）在x=2處取得極小值f（2）=-16+c．
由題意知16+c=28，解得c=12．此時，f（-3）=21，f（3）=3，f（2）=-4，
所以f（x）在[-3，3]上的最大值為28．

點評：本題主要考查函數的導數與函數的極值、最值之間的關系，屬于導數應用問題．