Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x，x＞0，則曲線y=f（x）與曲線$y=\frac{e^2}{4}{x^2}$的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可得曲線y=f（x）與曲線$y=\frac{e^2}{4}{x^2}$的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即方程f（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²的根的個(gè)數(shù)．由f（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²即$\frac{{e}^{2}}{4}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，由h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到所求個(gè)數(shù)．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，曲線y=f（x）與曲線$y=\frac{e^2}{4}{x^2}$的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
即方程f（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²的根的個(gè)數(shù)．
由f（x）=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²即$\frac{{e}^{2}}{4}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，由h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
則h（x）在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，
∴h（2）是h（x）的極小值即為最小值，且為$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴曲線y=f（x）與曲線y=$\frac{{e}^{2}}{4}$x²的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．