Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，g（x）=e^x+ax．
（1）若a＜0．
（i）試探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（ii）若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間（0，ln3）上具有相同的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=x²-f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁∈（0，$\frac{1}{2}$），求證：h（x₁）-h（x₂）＞$\frac{3}{4}$-ln2．

Answer 1

分析 （1）（i）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間即可；
（ii）根據(jù)f（x）的單調(diào)性求出g（x）的單調(diào)性，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＜-e^x在（0，ln3）恒成立，求出a的范圍即可；
（2）由h（x）=x²-ax+lnx，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)（x＞0），故x₁x₂=$\frac{1}{2}$，由x1∈（0，$\frac{1}{2}$），知x₂∈（1，+∞），且ax₁=2x₁²+1，由此能夠證明h（x₁）-h（x₂）＞$\frac{3}{4}$-ln2

解答 解：（1）（i）a＜0時(shí)，f′（x）=a-$\frac{1}{x}$＜0，
故f（x）在（0，+∞）遞減；
（ii）由（i）f（x）在（0，ln3）遞減，
故g（x）在（0，ln3）遞減，
故g′（x）=e^x+a＜0在（0，ln3）恒成立，
故a＜-e^x在（0，ln3）恒成立，
故a＜-3；
（2）h（x）=x²-ax+lnx，
∴h′（x）=$\frac{{2x}^{2}-ax+1}{x}$，（x＞0）
∴x₁x₂=$\frac{1}{2}$，
∵x₁∈（0，$\frac{1}{2}$），∴x₂∈（1，+∞），且ax₁=2x₁²+1，（i=1，2），
∴h（x₁）-h（x₂）=（x₁²-ax₁+lnx₁）-（x₂²-ax₂+lnx₂）
=（-x₁²-1+lnx₁）-（-x₂²-1+lnx₂）
=x₂²-x₁²+ln $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=x₂²-$\frac{1}{{{4x}_{2}}^{2}}$-ln2x₂²，（x₂＞1），
設(shè)u（x）=x²-$\frac{1}{{4x}^{2}}$-ln2x²，x≥1，
則u′（x）=$\frac{{（{2x}^{2}-1）}^{2}}{{2x}^{3}}$≥0，∴u（x）＞u（1）=$\frac{3}{4}$-ln2．
即h（x₁）-h（x₂）＞$\frac{3}{4}$-ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．