Question

3．已知定點E（-1，0），F(xiàn)（1，0），動點P（x，y）滿足|PE|+|PF|=4，記動點P的軌跡為曲線G．
（Ⅰ）求曲線G的標準方程；
（Ⅱ）過點F作不垂直于坐標軸的直線l，交曲線G于A、B兩點，點C是點A關(guān)于x軸的對稱點．
（i）求證：直線BC恒過x軸上的定點N，并求出定點N的坐標；
（ii）求△ABN的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的幾何性質(zhì)可知曲線G為橢圓，結(jié)合題中條件可計算得出曲線G的標準方程．
（Ⅱ）（i）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程并化簡整理；設(shè)出A、B、C三點坐標，進而設(shè)出直線BC的方程，結(jié)合韋達定理可證出直線BC恒過定點N，并求出定點N的坐標．
（ii）△ABN的面積可表示為S=$\frac{1}{2}$丨FN丨丨y₂-y₁丨，結(jié)合韋達定理得到的結(jié)論化簡△ABN面積的表達式，從而求出面積S的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知動點P（x，y）到定點E（-1，0），F(xiàn)（1，0）的距離之和，
|PE|+|PF|=4（大于丨EF丨=2），
∴動點P的軌跡是以E（-1，0），F(xiàn)（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓，
設(shè)橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∴a=2，c=1，b²=3，
∴曲線G的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…4分
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
且△=144（k²+1）＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，…6分
（i）由題意可知C（x₁，-y₁），則直線BC的方程為y=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）-y₁，
令y=0，則x_N=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$+x₁=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$
=$\frac{k（{x}_{1}-1）{x}_{2}+k（{x}_{2}-1）{x}_{1}}{k（{x}_{2}-1）+k（{x}_{1}-1）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-2}$=$\frac{2•\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}}{\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-2}$=4，
∴直線BC恒過定點N，且定點N的坐標為（4，0）…9分
（ii）由（i）可知N（4，0），F(xiàn)（1，0），
則△ABN的面積可表示為S=$\frac{1}{2}$丨FN丨丨y₂-y₁丨=$\frac{3}{2}$丨k（x₂-x₁）丨，
∴S=$\frac{3}{2}$$\sqrt{{k}^{2}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=18$\sqrt{{k}^{2}•\frac{{k}^{2}+1}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$；
設(shè)4k²+3=t，則t＞3，k²=$\frac{t-3}{4}$，則S=$\frac{9}{2}$$\sqrt{\frac{{t}^{2}-2t-3}{{t}^{2}}}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{-3（\frac{1}{t}+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$；
令u=$\frac{1}{t}$，則0＜u＜$\frac{1}{3}$，
∴y=-3（u+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$在（0，$\frac{1}{3}$）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴y∈（0，1），
故△ABN的面積的取值范圍（0，$\frac{9}{2}$）．

點評 本題考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，三角形的面積公式，考查橢圓與函數(shù)的單調(diào)性與最值的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．