Question

13．元旦期間，某轎車銷售商為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每滿6萬元，可減6千元；方案二：金額超過6萬元（含6萬元），可搖號三次，其規(guī)則是依次裝有2個幸運號、2個吉祥號的一個搖號機，裝有2個幸運號、2個吉祥號的二號搖號機，裝有1個幸運號、3個吉祥號的三號搖號機各搖號一次，其優(yōu)惠情況為：若搖出3個幸運號則打6折，若搖出2個幸運號則打7折；若搖出1個幸運號則打8折；若沒有搖出幸運號則不打折．
（1）若某型號的車正好6萬元，兩個顧客都選中第二中方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；
（2）若你評優(yōu)看中一款價格為10萬的便型轎車，請用所學知識幫助你朋友分析一下應選擇哪種付款方案．

Answer 1

分析 （1）選擇方案二比方案一更優(yōu)惠，則需要至少摸出一個幸運球，由此能求出至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率．
（2）若選擇方案一，則需付款9.4萬元；若選擇方案二，設付款金額為X萬元，則X可能的取值為6，7，8，10，分別求出相應的概率，從而求出X的數(shù)學期望，由此得到選擇第二種方案更劃算．

解答 解：（1）選擇方案二比方案一更優(yōu)惠，
則需要至少摸出一個幸運球，
設顧客不打折即三次沒摸出幸運球為事件A，
則$P（A）=\frac{2×2×3}{4×4×4}=\frac{3}{16}$，
故所求概率$P=1-P（A）P（A）=1-{（\frac{3}{16}）^2}=\frac{247}{256}$．（4分）
（2）若選擇方案一，則需付款10-0.6=9.4（萬元）． 5分）
若選擇方案二，設付款金額為X萬元，
則X可能的取值為6，7，8，10，$P（X=6）=\frac{2×2×1}{4×4×4}=\frac{1}{16}，P（X=7）=\frac{2×2×3+2×2×1+2×2×1}{4×4×4}=\frac{5}{16}$，$P（X=8）=\frac{2×2×3+2×2×3+2×2×1}{4×4×4}=\frac{7}{16}$，$P（X=10）=\frac{3}{16}$，（9分）
故X的分布列為

X	6	7	8	10
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{16}$

所以$E（X）=6×\frac{1}{16}+7×\frac{5}{16}+8×\frac{7}{16}+10×\frac{3}{16}=7.9375$（萬元）＜9.4（萬元），
所以選擇第二種方案更劃算．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、整體思想，是中檔題．