Question

5．定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+cx+3（c為常數(shù)），f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=4lnx-f′（x），（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），求g（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x²+c；然后根據(jù)f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，求出f′（0）=c=-1，進(jìn)而求出函數(shù)y=f（x）的解析式即可；
（2）分別求出g（x）、g′（x），然后分兩種情況：①當(dāng)0＜x＜$\sqrt{2}$和②當(dāng)x≥$\sqrt{2}$時(shí)，討論求出g（x）的極值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³+cx+3，f′（x）=x²+c，
因?yàn)閒（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，
所以f′（0）=c=-1，
即f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+3；
（2）由（1），可得g（x）=4lnx-x²+1，x∈（0，+∞），
則g′（x）=$\frac{4}{X}$-2x=$\frac{4-2{x}^{2}}{x}$=-$\frac{2（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{x}$，
①當(dāng)0＜x＜$\sqrt{2}$時(shí)，g′（x）＞0，
可得g（x）在（0，$\sqrt{2}$）上為增函數(shù)；
②當(dāng)x≥$\sqrt{2}$時(shí)，g′（x）≤0，
可得g（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上為減函數(shù)；
所以g（x）在x=$\sqrt{2}$處取得極大值g（$\sqrt{2}$）=2ln2-1．

點(diǎn)評 此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值以及切線方程的求解問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．