Question

13．設(shè)函數(shù)$f（x）=2alnx+\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）若$a=-\frac{1}{2}$，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)到底是，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為2a≥$\frac{lnx-1}{x}$，令$g（x）=\frac{lnx-1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）定義域為x∈（0，+∞）．
當(dāng)$a=-\frac{1}{2}$時，$f'（x）=\frac{-x+1-lnx}{x^2}$且f'（1）=0．
令h（x）=-x+1-lnx，則$h'（x）=-1-\frac{1}{x}＜0$，
故h（x）在定義域上是減函數(shù)，
注意到h（1）=0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）＞h（1）=0，此時f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h（x）＜h（1）=0，此時f'（x）＜0．
∴f（x）的極大值為f（1）=0，無極小值．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）=$\frac{2ax+1-lnx}{{x}^{2}}$≥0，
故2a≥$\frac{lnx-1}{x}$，
令$g（x）=\frac{lnx-1}{x}$，
∴$g'（x）=\frac{2-lnx}{x^2}$，
由g'（x）＞0得x∈（0，e²），
由g'（x）＜0得x∈（e²，+∞），
故g（x）的最大值為$g（{e^2}）=\frac{1}{e^2}$，
∴2a≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，a≥$\frac{1}{2}$e^-2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．