Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax-ln（x+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥sinx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-ln（x+1），求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)的極值．
（Ⅱ）f（x）≥sinx恒成立，即ax-ln（x+1）-sinx≥0恒成立，令g（x）=ax-ln（x+1）-sinx，求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)①當(dāng)a≥2②當(dāng)a＜2，判斷函數(shù)的單調(diào)性，推出a≥2．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-ln（x+1），則$f'（x）=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$，
因?yàn)閤+1＞0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0．
所以f（x）在x=0處取得極大值f（0）=0，無(wú)極小值．
（Ⅱ）f（x）≥sinx恒成立，即ax-ln（x+1）-sinx≥0恒成立，
令g（x）=ax-ln（x+1）-sinx，則$g'（x）=a-\frac{1}{x+1}-cosx$，
當(dāng)x≥0時(shí)，$\frac{1}{x+1}+cosx≤2$，
①當(dāng)a≥2時(shí)，g'（x）≥0，所以g（x）≥g（0）=0，滿足題意；
②當(dāng)a＜2時(shí)，g'（0）=a-2＜0，所以必存在一個(gè)區(qū)間[0，x₀]使得g'（x）＜0，
所以g（x₀）＜g（0）=0，這與題意矛盾，所以不成立．
綜上可知a≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的恒成立條件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想的應(yīng)用．