Question

10．已知△ABC的面積S滿足2-$\sqrt{3}$≤S≤1，且$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，∠ACB=θ．
（1）若$\overrightarrow m$=（sin2A，cos2A），$\overrightarrow n$=（cos2B，sin2B），求|$\overrightarrow m$+2$\overrightarrow n$|的取值范圍；
（2）求函數f（θ）=sin（θ+$\frac{π}{4}$）-4$\sqrt{3}$sinθcosθ+cos（θ-$\frac{π}{4}$）-2的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知數量積可得abcosθ=2，代入S=$\frac{1}{2}absinθ$，可得tanθ∈[2-$\sqrt{3}$，1]，從而求出θ的范圍，再由向量模的公式可得$|\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}{|}^{2}$|=5-4sin2θ，從而求得答案；
（2）化簡函數f（θ）=sin（θ+$\frac{π}{4}$）-4$\sqrt{3}$sinθcosθ+cos（θ-$\frac{π}{4}$）-2，令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，然后利用配方法求得函數f（θ）的最大值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=2$，又∠ACB=θ，
得abcosθ=2，∴S=$\frac{1}{2}absinθ$=tanθ∈[2-$\sqrt{3}$，1]，
而θ∈（0，π），∴$\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{4}$，
∵$\overrightarrow m$=（sin2A，cos2A），$\overrightarrow n$=（cos2B，sin2B），
∴$|\overrightarrow{m}|=si{n}^{2}2A+co{s}^{2}2A=1$，$|\overrightarrow{n}|=si{n}^{2}2B+co{s}^{2}2B=1$．
∴$|\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{n}{|}^{2}=|\overrightarrow{m}{|}^{2}+4\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+4|\overrightarrow{n}{|}^{2}=5-4sin2θ$，
∵$\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{4}$，∴$\frac{π}{6}≤2θ≤\frac{π}{2}$，
∴5-4sin2θ∈[1，3]，∴|$\overrightarrow m$+2$\overrightarrow n$|∈[1，$\sqrt{3}$]；
（2）f（θ）=sin（θ+$\frac{π}{4}$）-4$\sqrt{3}$sinθcosθ+cos（θ-$\frac{π}{4}$）-2=$\sqrt{2}（sinθ+cosθ）-4\sqrt{3}sinθcosθ-2$．
設t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∵$\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{4}$，∴$\frac{π}{3}≤θ+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}$，
∴t∈[$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]，y=$\sqrt{2}t-4\sqrt{3}•\frac{{t}^{2}-1}{2}-2$=$-2\sqrt{3}{t}^{2}+\sqrt{2}t+2\sqrt{3}-2$，
對稱軸t=$\frac{\sqrt{6}}{12}$∉[$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]，∴當t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時y_max=-2．

點評 本題考查平面向量的數量積的坐標表示，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，是中檔題．