Question

已知函數(shù)f（x）=（2ax-x²）e^ax，其中a為常數(shù)，且a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意把a(bǔ)代入，先使得函數(shù)解析式具體，再利用函數(shù)在定義域下導(dǎo)函數(shù)隨自變量x的范圍不同其正負(fù)符號(hào)也不同，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性的判斷，從而零用極值的定義得到函數(shù)的極值；
（II）由題意等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上恒成立問(wèn)題，最終歸結(jié)為求函數(shù)在定義域下求最值．
解答：解法一：（Ⅰ）依題意得f（x）=（2x-x²）e^x，所以f'（x）=（2-x²）e^x，
令f′（x）=0，得x=±，
當(dāng)時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈時(shí)，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
由上可知，x=-是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，x=是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．

（Ⅱ）f'（x）=[-ax²+（2a²-2）x+2a]e^ax，
由函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：f′（x）≤0對(duì)任意恒成立，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-2x，顯然f'（x）≤0對(duì)任意恒成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）≤0等價(jià)于ax²-（2a²-2）x-2a≥0，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190721381553719/SYS201310241907213815537017_DA/9.png">，不等式ax²-（2a²-2）x-2a≥0等價(jià)于x-
令g（x）=x-
則g'（x）=1+，在上顯然有g(shù)′（x）＞0恒成立，所以函數(shù)g（x）在單調(diào)遞增，
所以g（x）在上的最小值為
由于f′（x）≤0對(duì)任意恒成立等價(jià)于x-對(duì)任意恒成立，
需且只需g（x）_min≥，即0≥，解得-1≤a≤1，因?yàn)閍＞0，所以0＜a≤1．
綜合上述，若函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為0≤a≤1．
若＞0，即a＞1時(shí)，由于函數(shù)h（x）的圖象是連續(xù)不間斷的，
假如h（x）≥0對(duì)任意恒成立，則有，
解得-1≤a≤1，與a＞1矛盾，所以h（x）≥0不能對(duì)任意恒成立．
綜上所述：若函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為0≤a≤1．
點(diǎn)評(píng)：（I）此題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求其函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間，還考查了求解一元二次不等式；
（II）此題首先考查了數(shù)學(xué)�？嫉牡葍r(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，還考查了函數(shù)在定義域下恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)為求函數(shù)在定義域下的最值．