Question

12．某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量，成本和售價如下表：

	年產量/畝	年種植成本/畝	每噸售價
黃瓜	4噸	1.2萬元	0.55萬元
韭菜	6噸	0.9萬元	0.3萬元

分別用x，y表示黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）
（Ⅰ）用x，y列出滿足條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；
（Ⅱ）問分別種植黃瓜和韭菜各對少畝能夠使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入-總種植成本）最大？并求出此最大利潤．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x，y畝，寫出約束條件，畫出圖象即可，
（Ⅱ）設出目標函數(shù)，欲求種植總利潤最大，即求可行域中的最優(yōu)解，將目標函數(shù)看成是一條直線，分析目標函數(shù)Z與直線截距的關系，進而求出最優(yōu)解．

解答 解：（Ⅰ）設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x，y畝，
則目標函數(shù)為z=（0.55×4x-1.2x）+（0.3×6y-0.9y）=x+0.9y．
線性約束條件為 $\left\{\begin{array}{l}{x+y≤50}\\{1.2x+0.9y≤54}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{x+y≤50}\\{4x+3y≤180}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，作出不等式組表示的可行域，如圖所示：
（Ⅱ）設總利潤為z萬元，由圖象易求得點 A（0，50），B（30，20），C（0，45）．
平移直線z=x+0.9y，可知當直線z=x+0.9y 經過點B（30，20），即x=30，y=20時，z取得最大值，且Z_max=48（萬元）．
故黃瓜和韭菜的種植面積應該分別是30畝、20畝時，利潤最大．

點評 在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件②由約束條件畫出可行域③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關系④使用平移直線法求出最優(yōu)解⑤還原到現(xiàn)實問題中．