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8.如圖,已知橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A,左右頂點(diǎn)為B,C,右焦點(diǎn)為F,|AF|=3,且△ABC的周長(zhǎng)為14.
(1)求橢圓的離心率;
(2)過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)P,Q,點(diǎn)N在線段PQ上,設(shè)λ=|MP||PN|=|MQ||QN|,試判斷點(diǎn)N是否在一條定直線上,并求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

分析 (1)由丨AF丨2=b2+c2=a2,則a=3,2(丨AC丨+a)=14,即可求得b的值,則c=a22=2,利用橢圓的離心率公式,即可求得橢圓的離心率;
(2)方法一:由|MP||PN|=|MQ||QN|,整理得2y1y2=y0(y1+y2),將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,即可求得x0=94,λ=MPPN=4x1x1x0,利用94<x1≤3,即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍;
方法二:由|MP||PN|=|MQ||QN|,整理得2y1y2=y0(y1+y2),將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,利用求根公式,求得x0=94,λ=56k42k1k2=431k243,即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍;
方法三:由題意可在MPPN,MQ=-λQN,根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求得P,Q坐標(biāo),代入橢圓方程,整理求得x0=94,同方法一,即可求得即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

解答 解:(1)由丨AF丨2=b2+c2=a2,則a=3,--------------------------(1分)
△ABC的周長(zhǎng)為2(丨AC丨+a)=14,即a2+2+a=7,得b2=7,
則c=a22=2,
橢圓的離心率為e=ca=23;---------------------------------------------(4分)
(2)方法一:顯然直線l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=k(x-4),
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
|MP||PN|=|MQ||QN|,得y1y0y1=y2y2y0,化簡(jiǎn)得2y1y2=y0(y1+y2)①,-----(6分)
{y=kx4x29+y27=1消去x,得(9k2+7)y2+56ky+49k2=0,
得y1+y2=-56k9k2+7,y1y2=49k29k2+7,----------------------------------------------------(8分)
代入①式得y0=-74k,由y0=k(x0-4),得x0=94
λ=MPPN=4x1x1x0=-1+4x0x1x0=-1+74x194,---------------------------------------(10分)
94<x1≤3,得0<x1-9434,則λ≥-1+73=43,
因此,N在一條直線x=94上,實(shí)數(shù)λ∈[43,+∞).------------------------------------------(12分)
【法二:顯然直線l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=k(x-4),不妨設(shè)k>0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),y2<y1,
由λ=|MP||PN|=|MQ||QN|,得λ=y1y0y1=y2y2y0,化簡(jiǎn)得2y1y2=y0(y1+y2)①,(6分)
由y1=λ(y0-y1),y2=λ(y2-y0),得y1+y2=λ(y2-y1),②,
{y=kx4x29+y27=1消去x,得(9k2+7)y2+56ky+49k2=0,
可知△=(56k)2-4×(9k2+7)×49k2=49k2-36(1-k2)>0,
得y1+y2=-56k9k2+7,y1y2=49k29k2+7,y1,2=56k±29k2+7,----------------------(8分)
代入①式得y0=-74k,由y0=k(x0-4),得x0=94,---------------------------------------(9分)
由②式得-56k9k2+7=λ•9k2+7,得λ=56k42k1k2=431k243
因此,N在一條直線x=94上,實(shí)數(shù)λ∈[43,+∞).------------------------------------------(12分)
【法三:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),x2<x1,由λ=|MP||PN|=|MQ||QN|,
MPPN,MQ=-λQN,-----------------------------------------------------------------------(5分)
\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{4+λ{(lán)x}_{0}}{1+λ}}\\{{y}_{1}=\frac{λ{(lán)y}_{0}}{1+λ}}\end{array}\right.,\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{4-λ{(lán)x}_{0}}{1-λ}}\\{{y}_{2}=\frac{-λ{(lán)y}_{0}}{1-λ}}\end{array}\right.將P(x1,y1),Q(x2,y2),代入橢圓方程得------------------(7分)
\left\{\begin{array}{l}{\frac{(\frac{4+λ{(lán)x}_{0}}{1+λ})^{2}}{9}+\frac{(\frac{λ{(lán)y}_{0}}{1+λ})^{2}}{7}=1}\\{\frac{(\frac{4-λ{(lán)x}_{0}}{1-λ})^{2}}{9}+\frac{({\frac{-λ{(lán)y}_{0}}{1-λ})}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.,-----------------(9分)
上面兩式相減化簡(jiǎn)得x0=\frac{9}{4},
λ=\frac{丨MP丨}{丨PN丨}=\frac{4-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}=-1+\frac{4-{x}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}=-1+\frac{\frac{7}{4}}{{x}_{1}-\frac{9}{4}},---------------------------------------(10分)
\frac{9}{4}<x1≤3,得0<x1-\frac{9}{4}\frac{3}{4},則λ≥-1+\frac{7}{3}=\frac{4}{3},
因此,N在一條直線x=\frac{9}{4}上,實(shí)數(shù)λ∈[\frac{4}{3},+∞).----------------------------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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