分析 (1)由丨AF丨2=b2+c2=a2,則a=3,2(丨AC丨+a)=14,即可求得b的值,則c=√a2−2=√2,利用橢圓的離心率公式,即可求得橢圓的離心率;
(2)方法一:由|MP||PN|=|MQ||QN|,整理得2y1y2=y0(y1+y2),將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,即可求得x0=94,λ=丨MP丨丨PN丨=4−x1x1−x0,利用94<x1≤3,即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍;
方法二:由|MP||PN|=|MQ||QN|,整理得2y1y2=y0(y1+y2),將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,利用求根公式,求得x0=94,λ=56k42k√1−k2=43√1−k2≥43,即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍;
方法三:由題意可在→MP=λ→PN,→MQ=-λ→QN,根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求得P,Q坐標(biāo),代入橢圓方程,整理求得x0=94,同方法一,即可求得即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
解答 解:(1)由丨AF丨2=b2+c2=a2,則a=3,--------------------------(1分)
△ABC的周長(zhǎng)為2(丨AC丨+a)=14,即√a2+2+a=7,得b2=7,
則c=√a2−2=√2,
橢圓的離心率為e=ca=√23;---------------------------------------------(4分)
(2)方法一:顯然直線l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=k(x-4),
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
由|MP||PN|=|MQ||QN|,得y1y0−y1=y2y2−y0,化簡(jiǎn)得2y1y2=y0(y1+y2)①,-----(6分)
由{y=k(x−4)x29+y27=1消去x,得(9k2+7)y2+56ky+49k2=0,
得y1+y2=-56k9k2+7,y1y2=49k29k2+7,----------------------------------------------------(8分)
代入①式得y0=-74k,由y0=k(x0-4),得x0=94,
λ=丨MP丨丨PN丨=4−x1x1−x0=-1+4−x0x1−x0=-1+74x1−94,---------------------------------------(10分)
由94<x1≤3,得0<x1-94≤34,則λ≥-1+73=43,
因此,N在一條直線x=94上,實(shí)數(shù)λ∈[43,+∞).------------------------------------------(12分)
【法二:顯然直線l的斜率存在,設(shè)l的方程為y=k(x-4),不妨設(shè)k>0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),y2<y1,
由λ=|MP||PN|=|MQ||QN|,得λ=y1y0−y1=y2y2−y0,化簡(jiǎn)得2y1y2=y0(y1+y2)①,(6分)
由y1=λ(y0-y1),y2=λ(y2-y0),得y1+y2=λ(y2-y1),②,
由{y=k(x−4)x29+y27=1消去x,得(9k2+7)y2+56ky+49k2=0,
可知△=(56k)2-4×(9k2+7)×49k2=49k2-36(1-k2)>0,
得y1+y2=-56k9k2+7,y1y2=49k29k2+7,y1,2=−56k±√△2(9k2+7),----------------------(8分)
代入①式得y0=-74k,由y0=k(x0-4),得x0=94,---------------------------------------(9分)
由②式得-56k9k2+7=λ•−√△9k2+7,得λ=56k42k√1−k2=43√1−k2≥43,
因此,N在一條直線x=94上,實(shí)數(shù)λ∈[43,+∞).------------------------------------------(12分)
【法三:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),x2<x1,由λ=|MP||PN|=|MQ||QN|,
得→MP=λ→PN,→MQ=-λ→QN,-----------------------------------------------------------------------(5分)
∴\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{4+λ{(lán)x}_{0}}{1+λ}}\\{{y}_{1}=\frac{λ{(lán)y}_{0}}{1+λ}}\end{array}\right.,\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{4-λ{(lán)x}_{0}}{1-λ}}\\{{y}_{2}=\frac{-λ{(lán)y}_{0}}{1-λ}}\end{array}\right.將P(x1,y1),Q(x2,y2),代入橢圓方程得------------------(7分)
\left\{\begin{array}{l}{\frac{(\frac{4+λ{(lán)x}_{0}}{1+λ})^{2}}{9}+\frac{(\frac{λ{(lán)y}_{0}}{1+λ})^{2}}{7}=1}\\{\frac{(\frac{4-λ{(lán)x}_{0}}{1-λ})^{2}}{9}+\frac{({\frac{-λ{(lán)y}_{0}}{1-λ})}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.,-----------------(9分)
上面兩式相減化簡(jiǎn)得x0=\frac{9}{4},
λ=\frac{丨MP丨}{丨PN丨}=\frac{4-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}=-1+\frac{4-{x}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}=-1+\frac{\frac{7}{4}}{{x}_{1}-\frac{9}{4}},---------------------------------------(10分)
由\frac{9}{4}<x1≤3,得0<x1-\frac{9}{4}≤\frac{3}{4},則λ≥-1+\frac{7}{3}=\frac{4}{3},
因此,N在一條直線x=\frac{9}{4}上,實(shí)數(shù)λ∈[\frac{4}{3},+∞).----------------------------------(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 4 | B. | 8 | C. | 16 | D. | 32 |
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A. | (-∞,0)∪(2,+∞) | B. | (0,2] | C. | [0,2] | D. | Φ |
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A. | \frac{π}{2} | B. | π | C. | \frac{3π}{2} | D. | 2π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{4} | B. | \frac{1}{6} | C. | \frac{5}{18} | D. | \frac{2}{9} |
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