Question

6．已知O為△ABC的外心，且$\overrightarrow{BO}=λ\overrightarrow{BA}+μ\overrightarrow{BC}$．
①若∠C=90°，則λ+μ=$\frac{1}{2}$；
②若∠ABC=60°，則λ+μ的最大值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 ①外心為斜邊中點(diǎn)，根據(jù)圖形即可得出λ，μ的值，
②以外接圓圓心為半徑建立坐標(biāo)系，設(shè)B（x，y），列方程用λ，μ表示出x，y，代入圓的方程，再利用不等式解出λ+μ的范圍．

解答 解：①若∠C=90°，則O是斜邊AB的中點(diǎn)，如圖①所示；
∴$\overrightarrow{BO}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，
∴λ=$\frac{1}{2}$，μ=0，
∴λ+μ=$\frac{1}{2}$；
②設(shè)△ABC的外接圓半徑為1，以外接圓圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，
∵∠ABC=60°，∴AOC=120°，
設(shè)A（1，0），C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（x，y），
則$\overrightarrow{BA}$=（1-x，-y），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$-x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y），$\overrightarrow{BO}$=（-x，-y），
∵$\overrightarrow{BO}=λ\overrightarrow{BA}+μ\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ（1-x）-μ（\frac{1}{2}+x）=-x}\\{-λy+μ（\frac{\sqrt{3}}{2}-y）=-y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{λ-\frac{1}{2}μ}{λ+μ-1}}\\{y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}μ}{λ+μ-1}}\end{array}\right.$，
∵B在圓x²+y²=1上，
∴（$λ-\frac{1}{2}μ$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}μ$）²=（λ+μ-1）²，
∴λμ=$\frac{2（λ+μ）-1}{3}$≤（$\frac{λ+μ}{2}$）²，
∴$\frac{1}{4}$（λ+μ）²-$\frac{2}{3}$（λ+μ）+$\frac{1}{3}$≥0，
解得λ+μ≤$\frac{2}{3}$或λ+μ≥2，
∵B只能在優(yōu)弧$\widehat{AC}$上，∴λ+μ≤$\frac{2}{3}$，
即λ+μ得最大值為$\frac{2}{3}$．
故答案為：（1）$\frac{1}{2}$，（2）$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算是常用方法之一，屬于中檔題．