Question

1．已知橢圓G：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜\sqrt{6}）$的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B₁和B₂，點(diǎn)P在橢圓G上，且滿(mǎn)足|PB₁|+|PB₂|=|PF₁|+|PF₂|．當(dāng)b變化時(shí)，給出下列三個(gè)命題：
①點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
②存在b使得橢圓G上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P僅有兩個(gè)；
③|OP|的最小值為2，
其中，所有正確命題的序號(hào)是①③．

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓的定義可得P也在橢圓$\frac{{y}^{2}}{6}$+$\frac{{x}^{2}}{6-^{2}}$=1上，分別畫(huà)出兩個(gè)橢圓的圖形，即可判斷①正確；
通過(guò)b的變化，可得②不正確；由圖象可得當(dāng)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等時(shí)，|OP|的值取得最小，即可判斷③．

解答 解：橢圓G：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜\sqrt{6}）$的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
F₁（$\sqrt{6-^{2}}$，0）和F₂（-$\sqrt{6-^{2}}$，0），
短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B₁（0，-b）和B₂（0，b），
設(shè)P（x，y），點(diǎn)P在橢圓G上，且滿(mǎn)足|PB₁|+|PB₂|=|PF₁|+|PF₂|，
由橢圓定義可得，|PB₁|+|PB₂|=2a=2$\sqrt{6}$＞2b，
即有P在橢圓$\frac{{y}^{2}}{6}$+$\frac{{x}^{2}}{6-^{2}}$=1上．
對(duì)于①，將x換為-x方程不變，則點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
故①正確；
對(duì)于②，由圖象可得軌跡關(guān)于x，y軸對(duì)稱(chēng)，且0＜b＜$\sqrt{6}$，
則橢圓G上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，
不存在b使得橢圓G上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P僅有兩個(gè)，故②不正確；
對(duì)于③，由圖象可得，當(dāng)P滿(mǎn)足x²=y²，即有6-b²=b²，即b=$\sqrt{3}$時(shí)，
|OP|取得最小值，可得x²=y²=2，即有|OP|的最小值為2，故③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義和方程的運(yùn)用，以及對(duì)稱(chēng)性，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．