Question

16．若非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2，|$\overrightarrow b$|=1，則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角的余弦值為-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 運用向量的平方即為模的平方，計算可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，再由向量夾角公式：cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，計算即可得到所求值．

解答 解：由非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2，|$\overrightarrow b$|=1，
可得|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$，
即有向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{2×1}$=-$\frac{1}{4}$．
故答案為：-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查向量數(shù)量積的夾角公式的運用，考查向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．