Question

6．已知正數數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n和2的等比中項等于a_n和2的等差中項，則a₁=2，S_n=2n²．

Answer 1

分析 由等差中項和等比中項可得$\frac{{a}_{n}+2}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}}$，平方可得S_n=$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$，把n=1代入可得a₁=2，還可得S_n-1=$\frac{（{a}_{n-1}+2）^{2}}{8}$，又a_n=S_nS-_n-1，數列各項都是正數，可得a_n-a_n-1=4，可得數列為等差數列，可得前n項和公式．

解答 解：由題意知$\frac{{a}_{n}+2}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}}$，平方可得S_n=$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$，①
①由a₁=S₁得$\frac{{a}_{1}+2}{2}$=$\sqrt{2{a}_{1}}$，從而可解得a₁=2．
又由①式得S_n-1=$\frac{（{a}_{n-1}+2）^{2}}{8}$（n≥2）…②
①-②可得a_n=S_nS-_n-1=$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$-$\frac{（{a}_{n-1}+2）^{2}}{8}$（n≥2）
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0 
∵數列{a_n}的各項都是正數，
∴a_n-a_n-1-4=0，即a_n-a_n-1=4．
故數列{a_n}是以2為首項4為公差的等差數列，
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²．
當n=1時，S₁=a₁=2．
故S_n=2n²．
故答案是：2；2n²．

點評 本題考查等差數列和等比數列的性質，屬中檔題．