Question

17．已知f（x）=|x-a|，a∈R．
（1）當a=1時，求不等式f（x）+|2x-5|≥6的解集；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-|x-3|的值域為A，且[-1，2]⊆A，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），通過討論x的范圍求出各個區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；
（2）通過討論a的范圍，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=1時，|x-1|+|2x-5|≥6，
x≤1時：1-x-2x+5≥6，解得：x≤0，∴x≤0，
1＜x＜2.5時：x-1-2x+5≥6，解得：x≤-1，不成立；
x≥2.5時：x-1+2x-5≥6，解得：x≥4，∴x≥4，
故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}；
（2）g（x）=|x-a|-|x-3|，
a≥3時：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，x≥a}\\{a+3-2x，3＜x＜a}\\{a-3，x≤3}\end{array}\right.$，
∴3-a≤g（x）≤a-3，
∵[-1，2]⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{3-a≤-1}\\{a-3≥2}\end{array}\right.$，解得a≥5；
a＜3時，a-3≤g（x）≤3-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤-1}\\{3-a≥2}\end{array}\right.$，解得：a≤1；
綜上：a≤1或a≥5．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．