Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．
（1）設(shè)點E為PD的中點，求證：CE∥平面PAB；
（2）線段PD上是否存在一點N，使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$？若存在，試確定點N的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD中點M，利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB，利用同位角相等證明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，證得EC∥平面PAB；
（2）建立坐標系，求出平面PAC的法向量，利用直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$，可得結(jié)論．

解答 （1）證明：取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．
而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．
（2）解：過A作AF⊥AD，交BC于F，建立如圖所示的坐標系，則A（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），

設(shè)平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2z=0}\\{\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），
設(shè)$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PD}$（0≤λ≤1），則$\overrightarrow{PN}$=（0，4λ，-2λ），$\overrightarrow{CN}$=（-λ-1，2-2λ），
∴|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CN}$＞|=$\frac{|12λ|}{\sqrt{3+（4λ-1）^{2}+（2-2λ）^{2}}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，∴$λ=\frac{1}{2}$，
∴N為PD的中點，使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．