Question

19．已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，2asinB=$\sqrt{3}$b，b=2，c=3，AD是角A的平分線，D在BC上，則BD=$\frac{{3\sqrt{7}}}{5}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得$2sinAsinB=\sqrt{3}sinB$，結合sinB≠0，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可求A的值，由余弦定理可得a，根據(jù)角分線定理可求BD的值．

解答 解：∵2asinB=$\sqrt{3}$b，
∴由正弦定理可得$2sinAsinB=\sqrt{3}sinB$，
∵sinB≠0，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由A為銳角，可得$A=\frac{π}{3}$，
∵b=2，c=3，
∴由余弦定理可得a²=b²+c²-2bcosA=4+9-2×$2×3×\frac{1}{2}$=7，可得：a=$BC=\sqrt{7}$，
∴根據(jù)角分線定理可知，$BD=\frac{{3\sqrt{7}}}{5}$．
故答案為：$\frac{{3\sqrt{7}}}{5}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，角分線定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．