Question

13．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一點，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=5，則|$\overrightarrow{BD}$|等于（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 1

Answer 1

分析 依題意，作出圖形，設(shè)$\overrightarrow{AD}$=k$\overrightarrow{AB}$，利用三角形法則可知$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=-$\overrightarrow{AC}$+k$\overrightarrow{AB}$，再由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=5可求得k，從而可求得|$\overrightarrow{BD}$|的值．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一點，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=5，
作圖如下：

設(shè)$\overrightarrow{AD}$=k$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=-$\overrightarrow{AC}$+k$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AB}$•（-$\overrightarrow{AC}$+k$\overrightarrow{AB}$）=-|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cos60°+k${\overrightarrow{AB}}^{2}$=-5×4×$\frac{1}{2}$+25k=5，
解得：k=$\frac{3}{5}$，
∴|$\overrightarrow{AD}$|=5×$\frac{3}{5}$=3，
∴|$\overrightarrow{BD}$|=5-3=2．
故選：A．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，考查平面向量的加法運算（三角形法則）及平面向量共線基本定理的應用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．